Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，且側棱垂直于底面，由B沿棱柱側面經過棱C C₁到點A₁的最短路線長為2，設這條最短路線與CC₁的交點為D．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）在平面A₁BD內是否存在過點D的直線與平面ABC平行？證明你的判斷；
（3）證明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意求出棱長，再求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面面積，再求出高AA₁，即可求出棱柱的體積．
（2）設A₁B與AB₁的交點為O，連接BB₂，OD，在平面A₁BD內存在過點D的直線OD與平面ABC內的直線BB₂平行，即可證明所要證明結論．
（3）連接AD，B₁D，平面A₁BD內的直線OD垂直平面A₁ABB₁內的兩條相交直線A₁B，AB₁，即可證明平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．
解答：解：（1）如圖，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°
使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到點B₂的位置，
連接A₁B₂，則A₁B₂就是由點B沿棱柱側面經過棱CC₁到點A₁的最短路線．
設棱柱的棱長為a，則B₂C=AC=AA₁=a，
∵CD∥AA₁∴D為CC₁的中點，（1分）
在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得A₁A²+AB₂²=A₁B₂²，
即 a²+4a²=解得a=2，（3分）
∵
∴（4分）
（2）設A₁B與AB₁的交點為O，連接BB₂，OD，則OD∥BB₂（6分）
∵BB₂?平面ABC，OD不在平面ABC
∴OD∥平面ABC，
即在平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行（8分）
（3）連接AD，B₁D
∵Rt△A₁C₁D≌Rt△BCD≌Rt△ACD
∴A₁D=BD=B₁D=AD∴OD⊥A₁B，OD⊥AB₁（10分）
∵A₁B∩AB₁=O∴OD⊥平面A₁ABB₁
又∵OD?平面A₁BD∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．（12分）
點評：本題考查組合幾何體的面積、體積問題，棱柱的結構特征，空間中直線與平面之間的位置關系，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．