Question

一個正方形被等分成九個相等的小正方形，將中間的一個正方形挖掉如圖（1）；再將剩余的每個正方形都分成九個相等的小正方形，并將中間一個挖掉，得圖（2）；如此繼續下去…
（1）第三個圖中共挖掉多少個正方形；
（2）設原正方形邊長為1，則第n個圖中被挖掉的所有小正方形的面積和為多少？

Answer 1

分析：（1）通過研究前后兩個圖形挖去正方形個數的變化規律，從而求出答案；
（2）第圖（1）到第圖n被挖掉的正方形的邊長及個數分別組成等比數列{a_n}，由此可求第n個圖中被挖掉的所有小正方形的面積和．

解答：解：（1）由題意，第三個圖中共挖掉1+8+8²=73個正方形；
（2）第圖（1）到第圖n被挖掉的正方形的邊長組成等比數列{a_n}，且a_n=(

1

3

)n，
其個數組成等比數列{b_n}，且b_n=(

1

8

)n-1
∴第n個圖中被挖掉的所有小正方形的面積和為S=

1

9

+

8

92

+…+

8n-1

9n

=1-(

8

9

)n

點評：本題主要考查圖形規律下的數列問題，關鍵是尋找規律，轉化為運用數列知識求解．