Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=lnx+1，當x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，由此進行分類討論，能求出函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）由2xlnx≥-x²+ax-3，知a≤2lnx+x+

3

x

，設h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，則h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，由此入手能夠求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，…（1分）
當x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，
當x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，…（3分）
①0＜t＜t+2＜

1

e

，沒有最小值；  …（4分）
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

時，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；…（5分）
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt…（6分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

…（7分）
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

，…（9分）
設h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，
則h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，…（10分）
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調遞減，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∵g（x）=-x²+ax-3．所以a≤h（x）_min=4；…（13分）

點評：本題考查求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．