Question

已知三點P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓標準方程；
（Ⅱ）設點P、F₁、F₂關于直線y=x的對稱點分別為P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′為焦點且過點P′的雙曲線的標準方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意設出所求的橢圓的標準方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后寫出橢圓標準方程．
（Ⅱ）根據三個已知點的坐標，求出關于直線y=x的對稱點分別為點，設出所求雙曲線標準方程，代入求解即可．
解答：解：（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為
（a＞b＞0），
其半焦距c=6

∴，b²=a²-c²=9．
所以所求橢圓的標準方程為
（2）點P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
關于直線y=x的對稱點分別為點P′（2，5）、F₁′（0，-6）、F₂′（0，6）．
設所求雙曲線的標準方程為
由題意知，半焦距
c₁=6，
，
b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16．
所以所求雙曲線的標準方程為．
點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質等基礎知識和基本運算能力．屬于中檔題．