Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示一個(gè)圓．
（1）求t的取值范圍；
（2）求該圓半徑r的最大值及此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）利用圓的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D²+E²-4F＞0即可得出；
（2）利用r=

1

2

D2+E2-4F

即二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答：解：（1）∵已知方程表示一個(gè)圓，所以D²+E²-4F＞0，即4（t+3）²+4（1-4t²）-4（16t⁴+9）＞0，整理得7t²-6t-1＜0，解得-

1

7

＜t＜1．
（2）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

≤

4 7

7

，當(dāng)t=

3

7

時(shí)，r_max=

4 7

7

．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的一般方程表示圓的充要條件和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．