Question

已知(x2-

1

x

)n的展開式中第3項與第5項的系數之比為

3

14

．
（1）求n的值； 
（2）求展開式中的常數項； 
（3）求二項式系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，求出展開式中第3項與第5項的系數列出方程求出n的值．
（2）將求出n的值代入通項，令x的指數為0求出r的值，將r的值代入通項求出展開式的常數項．
（3）利用展開式中間項的二項式系數最大，求出二項式系數最大的項．

解答：解：（1）(x2-

1

x

)n展開式的通項為Tr+1=(-1)r

C

r n

x2n-

5r

2

∴展開式中第3項與第5項的系數分別為C_n²，C_n⁴
據題意得

C 2 n

C 4 n

=

3

14

解得n=10；
（2）∴展開式的通項為Tr+1=(-1)r

C

r 10

x20-

5r

2

令20-

5r

2

=0得r=8
∴展開式中的常數項為C₁₀⁸=45
（3）∵n=10
∴展開式共有11項
中間項為第6項
二項式系數最大的項為T₆=-252x

15

2

點評：解決二項展開式的特定項問題，一般利用的工具是二項展開式的通項公式．