Question

三棱錐P—ABC中，側棱PA⊥底面ABC，H是A在平面PBC上的射影.

（1）若H是△PBC的重心，則在此三棱錐的棱所在的直線中與AC垂直的直線有幾條？

（2）若H是△PBC的重心，且△ABC是邊長為2的正三角形，求二面角P—BC—A的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）充分利用線線垂直與線面垂直的相互關系進行挖掘與探求； （2）二面角問題關鍵是“作”“證”“算”，本題關鍵要利用重心性質及方程思想進行求解. （1）PA⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PA⊥AC，AH⊥平面PBC，CH⊥PB. ∴AC⊥PB.∴AC⊥平面ABC. 又AB平面PAB，∴AC⊥AB. 故與AC垂直的直線有PA、PB、AB三條. （2）若H是重心，連結PH交BC于D，可設PH＝2x，HD＝x. 由AB＝2，可知AD＝，于是有（）2＝x·（2x＋x），則x＝1. ∴PD＝3.又D是BC的中點，∴AD⊥BC.∴PD⊥BC. ∴∠PDA是二面角P—BC—A的平面角. 由cosPDA＝，得∠PDA＝arccos即為所求.