Question

（2012•河南模擬）已知函數y=f （x）在R上是偶函數，對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，

f (x1)-f (x2)

x1-x2

＞ 0，給出如下命題：f（2a-x）=f（x）
①f（3）=0    
②直線x=-6是y=f（x）圖象的一條對稱軸   
③函數y=f（x）在[-9，-6]上為增函數
④函數y=f（x）在[-9，9]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為（　�。�

A．①②

B．②④

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根據函數為偶函數，得到f（3）=0；
②將f（3）=0代入，得到f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函數，再由f（x）是偶函數可得，x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③根據偶函數f（x）在[0，3]上為增函數，且周期為6得到函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數；
④根據f（3）=0，周期為6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四個零點．

解答：解：①令x=-3，則由f（x+6）=f（x）+f（3），函數y=f （x）在R上是偶函數，得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0，故①正確．
②由f（3）=0，可得：f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函數．
由于f（x）為偶函數，y軸是對稱軸，故直線x=-6也是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，故②正確．
③因為當x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，有

f (x1)-f (x2)

x1-x2

＞ 0 成立，故f（x）在[0，3]上為增函數，
又f（x）為偶函數，故在[-3，0]上為減函數，又周期為6．故在[-9，-6]上為減函數，故③錯誤．
④函數f（x）周期為6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在[-9，9]上有四個零點，故④正確．
故選 D．

點評：本題考查了抽象函數的單調性，奇偶性，周期性，綜合性比較強，需熟練靈活掌握，屬于基礎題．