Question

（13分）定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)=log₂3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函數；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數，所以f(x)在R上是增函數，又由(1)f(x)是奇函數．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，  k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．
令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．




R恒成立．

解析