Question

已知正四棱錐的底面邊長為2a，其左視圖如圖所示．當主視圖的面積最大時，該四棱錐的體積和表面積分別為（　　）

• A．

  4 2

  3

  ，8
• B．

  8 2

  3

  ，8+8

  2

• C．

  4 2

  3

  ，8+8

  2

• D．4

  2，

  8

  2

Answer 1

分析：根據左視圖準確還原幾何體，求出a和h的關系，再確定出主視圖的形狀，表示出主視圖的面積，由基本不等式求出最大值以及對應的a和h的值，代入棱錐的體積公式和表面積公式求解．

解答：解：由題意畫出四棱錐如圖：其主視圖和左視圖相同，
由該四棱錐的主視圖可知四棱錐的底面邊長AB=2a，
設高PO=h，則四棱錐的斜高PE=2，
∴a²+h²=4，
則主視圖的面積S=

1

2

×2a×h=ah≤

a2+h2

2

=2，
當且僅當a=h=

2

時取等號，此時S最大．
∴四棱錐的體積V=

1

3

×(2a)2×h=

8 2

3

，
表面積S=（2a）²+4×

1

2

×2a×2=8+8

2

，
故選B．

點評：本題主要考查由三視圖求面積、體積，以及基本不等式求出最值，求解的關鍵是由視圖得出幾何體的長、寬、高等性質，熟練掌握各種類型的幾何體求體積和表面積的公式．