Question

 

    在長方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去

    長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體

    積為。

   （I）求棱的長；

   （Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)P，使直線與垂直，如果存在，求線段的長，如果不存在，請說明理由；

   （Ⅲ）求平面與平面所成二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）設(shè)，因?yàn)閹缀误w的體積為

所以，

即

即，解得

所以的長為4.

（Ⅱ）在線段上存在點(diǎn)使直線與垂直。

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的

空間直角坐標(biāo)系

由已知條件與（I）可知，，

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)使直線

與垂直。

則過點(diǎn)作交于點(diǎn)

由題易證得

所以，所以，所以。

因?yàn)?sub>，所以，即，所以

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且在線段上

因?yàn)?sub>，所以

所以在線段上存在點(diǎn)，使直線與垂直，且線段的長為（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，解得

所以

因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為，且平面與平面所成的二面角是一個(gè)銳角、所以（12分）