Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145(n∈N₊)

(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng).

（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1),記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：(1)設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d,

由題意，得10×1+×d=145,

∴d=3,b_n=3n-2.

(2)由b_n=3n-2知,

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］,

log_ab_n+1=log_a.

因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）(1+)…(1+)與的大小.

取n=1,有(1+1)＞,

取n≥2，有(1+1)(1+)…(1+)＞.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之：

①當(dāng)n=1時，已驗(yàn)證不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N ₊)時，不等式成立，

即(1+1)(1+)…(1+)＞,

則當(dāng)n=k+1時,

(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞(1+)

=·(3k+2).

∵［(3k+2)］³-()³

=＞0.

∴+1·(3k+2)＞=.

因此(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞.

這說明，當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.

由①②知，對一切n∈N ₊,不等式(1+1)(1+)…(1+)＞都成立.

再由對數(shù)的性質(zhì)，可得：

當(dāng)a＞1時，S_n＞log_ab_n+1;

當(dāng)0＜a＜1時,S_n＜log_ab_n+1.