Question

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為

2

的等邊三角形，AB=2，O是AB的中點．
（1）在棱PA上求一點M，使得OM∥平面PBC；
（2）求證：平面PAB⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）根據O是AB的中點，取PA得中點M，則OM為△PAB的中位線，故有OM∥PB，再由直線和平行的判定定理證得OM∥平面PBC．
（2）由題意可得△ABC為等腰直角三角形，故CO⊥AB，且CO=1．再利用勾股定理證明 CO⊥OM，可得CO⊥平面PAB，再根據平面和平面垂直的判定定理證得平面PAB⊥平面ABC．

解答：解：（1）∵O是AB的中點，取PA得中點M，則OM為△PAB的中位線，故有OM∥PB．
而OM不在平面PBC內，PB在平面PBC內，故有OM∥平面PBC．
（2）在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為

2

的等邊三角形，AB=2，故△ABC為等腰直角三角形，
故CO⊥AB，且CO=1．
再由OM=

1

2

PB=

2

2

，CM=

AC2-AM2

=

2- 1 2

=

6

2

，可得CM²=CO²+OM²，
∴CO⊥OM．
這樣，CO垂直于平面PAB內的兩條相交直線，故CO⊥平面PAB．
而CO在平面ABC內，故有平面PAB⊥平面ABC．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，平面和平面垂直的判定定理可得應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．