Question

計(jì)算下列各式的值:

(1)

(2)

(3)求(1-i)¹⁰的展開式中的所有奇數(shù)項(xiàng)的和.

Answer 1

分析：對于以上三例若按復(fù)數(shù)乘除法和乘方法直接計(jì)算,則顯得十分繁鎖.若能結(jié)合題目特點(diǎn),聯(lián)想結(jié)論(1±i)²=±2i和ω的性質(zhì),對于(2)題并注意到-2+i=i(1+2i),對于(3)利用二項(xiàng)式定理展開,不難找出簡捷解法.

解：(1)原式=

其中ω=-+i.

(2)原式=

=i+()^{1 003}

=i+i^{1 003}=i+i^4×250+3=i+i³=i-i=0.

(3)∵(1-i)¹⁰=1-·i+·(i)²-·(i)³+…,

∴(1-i)¹⁰的展開式中奇數(shù)項(xiàng)之和為復(fù)數(shù)(1-3i)¹⁰的實(shí)部.

又(1-i)¹⁰=［-2·(-+i)］¹⁰=2¹⁰ω¹⁰=2¹⁰ω=2¹⁰(-+i)=-2⁹+2⁹i.

∴(1-i)¹⁰的展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的和為-2⁹.

點(diǎn)評 代數(shù)形式的復(fù)數(shù)運(yùn)算,基本思路是應(yīng)用法則,但如果能通過對表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析,靈活運(yùn)用i的冪的性質(zhì)、1的立方虛根ω的性質(zhì)以及1±i的冪的性質(zhì)等,將可有效地簡化運(yùn)算,提高效率.