Question

【題目】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內作往復運動時，帶動繞轉動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8．

【解析】

（Ⅰ）設點，，依題意，

，且，

所以，且

即且

由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲線的方程為

（Ⅱ）（1）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有．

（2）當直線的斜率存在時，設直線，

由消去，可得．

因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，

所以，即． ①

又由可得；同理可得．

由原點到直線的距離為和，可得

． ②

將①代入②得，．

當時，；

當時，．

因，則，，所以，

當且僅當時取等號．

所以當時，的最小值為8．

綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8．