Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在（0，e）內有極小值

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于f（x）在（2，+∞）上單調遞增，可得f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

≥0在（2，+∞）恒成立，即x²-（a+1）x+a≥0在（2，+∞）恒成立，通過分離參數即可得出；
（II）f（x）定義域為（0，+∞），f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

．通過對a與1的大小關系分類討論，研究函數是否在（0，e）內有極小值

1

2

，即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在（2，+∞）上單調遞增，∴f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

≥0在（2，+∞）恒成立，
即x²-（a+1）x+a≥0在（2，+∞）恒成立，即（1-x）a+x²-x≥0在（2，+∞）恒成立，
即（1-x）a≥x-x²在（2，+∞）恒成立，即a≤x在（2，+∞）恒成立，
∴實數a的取值范圍是（-∞，2]．
（Ⅱ）f（x）定義域為（0，+∞），f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，
①當a＞1時，令f'（x）＞0，結合f（x）定義域解得0＜x＜1或x＞a，
∴f（x）在（0，1）和（a，+∞）上單調遞增，在（1，a）上單調遞減，
此時f(x)極小值=f(a)=-

1

2

a2-a+alna，
若f（x）在（0，e）內有極小值

1

2

，則1＜a＜e，但此時-

1

2

a2-a+alna＜0＜

1

2

矛盾．
②當a=1時，此時f'（x）恒大于等于0，不可能有極小值．
③當a＜1時，不論a是否大于0，f（x）的極小值只能是f(1)=-

1

2

-a，
令-

1

2

-a=

1

2

，即a=-1，滿足a＜1．
綜上所述，a=-1．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、分離參數法、分類討論的思想方法等基礎知識與基本方法，屬于難題．