Question

已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 且成等差數(shù)列.

(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ) 證明.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)見解析

【解析】(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412420412261570/SYS201308141243023346228448_DA.files/image004.png">成等差數(shù)列，所以

S₄ + 2S₂ =4S₄ – S₃，即，于是，又=，

所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，所以=，

當(dāng)n為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以=；

當(dāng)n為偶數(shù)時，隨n的增大而增大，所以=，

故對于，有.

本題第（Ⅰ）問，由S₃ + a₃, S₅ + a₅, S₄ + a₄成等差數(shù)列可以求出公比，進(jìn)而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)果；第(Ⅱ)問，先求出，然后分n為奇數(shù)與偶數(shù)討論得出數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的值.對第（Ⅰ）問，要注意細(xì)心計算；第二問，注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況討論.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查等差數(shù)列的概念，等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的思想，考查運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力.