Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ2=

36	4cos2θ+9sin2θ

；
（1）若以極點為原點，極軸所在的直線為x軸，求曲線C的直角坐標方程；
（2）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，求該點到直線2x+4y-5=0距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用極坐標系與直角坐標系的互化公式即可；
（2）利用橢圓的參數方程和點到直線的距離公式及三角函數的單調性即可求出．

解答：解：（1）由曲線C的極坐標方程為ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

即4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36化為直角坐標方程4x²+9y²=36，即

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）∵P（x，y）是曲線C上的一個動點，∴可設

x=3cosθ y=2sinθ

，
根據點到直線的距離公式可得
d=

|6cosθ+8sinθ-5|

22+42

=

5 |10sin(θ+α)-5|

10

=

5 |2sin(θ+α)-1|

2

≤

3 5

2

，當且僅當sin（θ+α）=-1時取等號．
故P點到直線2x+4y-5=0距離的最大值為

3 5

2

．

點評：熟練掌握極坐標系與直角坐標系的互化公式、橢圓的參數方程和兩角和的正弦公式及三角函數的單調性是解題的關鍵．