Question

已知正項數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=3，a₂=6，{b_n}是等差數列，且對任意正整數n，都有bn，

an

，bn+1成等比數列．
（ I）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設Sn=

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

，試比較2S_n與2-

b 2 n+1

an+1

的大小．

Answer 1

分析：（I）利用正項數列{a_n}，{b_n}滿足對任意正整數n，都有bn，

an

，bn+1成等比數列，可得a_n=b_nb_n+1，結合{b_n}是等差數列，可求數列的公差，從而可求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數列{a_n}的通項，利用裂項法求和，再作出比較，可得結論．

解答：解：（I）∵正項數列{a_n}，{b_n}滿足對任意正整數n，都有bn，

an

，bn+1成等比數列，
∴a_n=b_nb_n+1，
∵a₁=3，a₂=6，∴b₁b₂=3，b₂b₃=6
∵{b_n}是等差數列，∴b₁+b₃=2b₂，∴b₁=

2

，b₂=

3 2

2

∴b_n=

2

2

(n+1)；
（Ⅱ）a_n=b_nb_n+1=

(n+1)(n+2)

2

，則

1

an

=2（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴S_n=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]=1-

2

n+2

∴2S_n=2-

4

n+2

∵2-

b 2 n+1

an+1

=2-

n+2

n+3

∴2S_n-（2-

b 2 n+1

an+1

）=

n2-8

(n+2)(n+3)

∴當n=1，2時，2S_n＜2-

b 2 n+1

an+1

；當n≥3時，2S_n＞2-

b 2 n+1

an+1

．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查大小比較，考查學生的計算能力，確定數列的通項是關鍵．