Question

如圖，已知直線L：y=kx-1與拋物線C：y=x²，相交于兩點A、B，設點M（0，2），△MAB的面積為S．
（1）若直線L上與M連線距離為1的點至多存在一個，求S的范圍．
（2）若直線L上與M連線的距離為1的點有兩個，分別記為C、D，且滿足S≥λ|CD|恒成立，求正數λ的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線L與拋物線相交，直線L上與M連線距離為1的點至多存在一個，確定k的范圍，表示出S，即可求S的范圍．
（2）條件等價于λ≤，求出相應函數的最小值，即可求正數λ的范圍．
解答：解：（1）由已知，直線L與拋物線相交，由可得x²-kx+1=0，∴△=k²-4＞0，即k²＞4…（1）
又直線L與以M為圓心的單位圓相離或相切，所以，即k²≤8…（2）
由（1）（2）得：4＜k²≤8
∵==
∴S∈（0，3]；…（7分）
（2）由題意可知，當直線L與以M為圓心的單位圓相交于點C，D時，可得k²＞8，且|CD|=2=2
令f（k）==，
令t=k²-8（t＞0），則y==，當且僅當k=取到最小值是
所以，  …（14分）
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．