Question

已知拋物線C₁的方程為y=ax²（a＞0），圓C₂的方程為x²+（y+1）²=5，直線l₁：y=2x+m（m＜0）是C₁、C₂的公切線．F是C₁的焦點．
（1）求m與a的值；
（2）設A是C₁上的一動點，以A為切點的C₁的切線l交y軸于點B，設

FM

=

FA

+

FB

，證明：點M在一定直線上．

Answer 1

分析：（1）利用圓心到直線的距離等于半徑求出m，再利用導函數與切線的關系求出a的值即可．
（2）先求出以A為切點的切線l的方程以及點A，B的表達式，再求出

FA

，

FB

，利用

FM

=

FA

+

FB

即可求出點M所在的定直線．

解答：解：（1）由已知，圓C₂：x²+（y+1）²=5的圓心為C₂（0，-1），半徑r=

5

．（1分）
由題設圓心到直線l₁：y=2x+m的距離d=

|1+m|

22+(-1)2

．（3分）
即

|1+m|

22+(-1)2

=

5

，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
設l₁與拋物線的相切點為A₀（x₀，y₀），又y′=2ax，（5分）
得2ax0=2?x0=

1

a

，y0=

1

a

．（6分）
代入直線方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

所以m=-6，a=

1

6

．（7分）
（2）由（1）知拋物線C₁方程為y=

1

6

x2，焦點F(0，

3

2

)．（8分）
設A(x1，

1

6

x

2 1

)，由（1）知以A為切點的切線l的方程為y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x

2 1

．（10分）
令x=0，得切線l交y軸的B點坐標為(0，-

1

6

x

2 1

)（11分）
所以

FA

=(x1，

1

6

x

2 1

-

3

2

)，

FB

=(0，-

1

6

x

2 1

-

3

2

)，（12分）
∴

FM

=

FA

+

FB

=(x1，-3)（13分）
因為F是定點，所以點M在定直線y=-

3

2

上．（14分）

點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．本題用的是第一種．