Question

【題目】）已知函數f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（1）若函數y=f（x）存在與直線2x﹣y=0平行的切線，求實數a的取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）+ ，若g（x）有極大值點x1 ， 求證： ＞a．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f′（x）= ﹣2a，x＞0，

因為函數y=f（x）存在與直線2x﹣y=0平行的切線，

所以f′（x）=2在（0，+∞）上有解，

即 ﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a= 在（0，+∞）上有解，

所以2+2a＞0，得a＞﹣1，

故所求實數a的取值范圍是（﹣1，+∞）；

（2）解：證明：因為g（x）=f（x）+ x2= x2+lnx﹣2ax，

因為g′（x）= ，

①當﹣1≤a≤1時，g（x）單調遞增無極值點，不符合題意，

②當a＞1或a＜﹣1時，令g′（x）=0，設x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2，

因為x1為函數g（x）的極大值點，所以0＜x1＜x2，

又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，

所以g′（x1）= ﹣2ax1+ =0，則a= ，

要證明 + ＞a，只需要證明x1lnx1+1＞a ，

因為x1lnx1+1﹣a =x1lnx1﹣ +1=﹣ ﹣ x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，

令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），

所以h′（x）=﹣ x2﹣ +lnx，記P（x）=﹣ ﹣ +lnx，x∈（0，1），

則P′（x）=﹣3x+ = ，

當0＜x＜ 時，p′（x）＞0，當 ＜x＜1時，p′（x）＜0，

所以p（x）max=p（ ）=﹣1+ln ＜0，所以h′（x）＜0，

所以h（x）在（0，1）上單調遞減，所以h（x）＞h（1）=0，原題得證．

【解析】（1）求出函數的導數，問題轉化為2+2a= 在（0，+∞）上有解，求出a的范圍即可；（2）求出g（x）的解析式，通過討論a的范圍，問題轉化為證明x1lnx1+1＞a ，令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），根據函數的單調性證明即可．