Question

如圖，AB是圓O的直徑，C，F是圓O上的兩點，AF∥OC，過C作圓O的切線交AF的延長線于點D．
（Ⅰ）證明：∠DAC=∠BAC；
（Ⅱ）若CM⊥AB，垂足為M，求證：AM•MB=DF•DA．

Answer 1

分析：（Ⅰ）AF∥OC⇒∠CAF=∠ACO，OA=OC⇒∠CAO=∠ACO，根據相等的傳遞性，得出∠DAC=∠BAC．
（Ⅱ）連接BC，在RT△ACB中，CM²=AM•MB，又CD為圓O的切線，所以CD²=DF•DA，只需證出CD=CM即可．根據圓的切線性質，OC⊥CD，結合AD∥OC得出AD⊥CD，從而可以證出RT△AMC≌△RTADC，CM=CD．

解答：證明：（Ⅰ）∵AF∥OC，∴∠CAF=∠ACO．
又∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAF=∠CAB，即∠DAC=∠BAC．
（Ⅱ）連接BC，在RT△ACB中，CM⊥AB，
∴CM²=AM•MB
又CD為圓O的切線，∴CD²=DF•DA
∵OC⊥CD，AD∥OC，∴AD⊥CD．
∴RT△AMC≌△RTADC，∴CM=CD
∴AM•MB=DF•DA．

點評：本題考查的知識點是與圓相關的比例線段，由證明的結論形式分析證明思路，先分析角\邊的關系，再選取恰當的公式、定理、性質是解答此類問題的關鍵．