Question

設向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），x∈（0，

π

2

）．
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值；     
（2）設函數f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據|

a

|=|

b

|，建立方程關系，利用三角函數的公式即可求x的值；     
（2）利用數量積的定義求出函數f（x）=

a

•

b

的表達式，利用三角函數的圖象和性質求f（x）的最大值．

解答：解：（1）由|a|²=（

3

sin x）²+（sin x）²=4sin² x，
|b|²=（cos x）²+（sin x）²=1．
及|a|=|b|，得4sin² x=1．
又x∈（0，

π

2

），
從而sin x=

1

2

，
∴x=

π

6

．
（2）f（x）=

a

•

b

=

3

sin x•cos x+sin²x=

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
當x=

π

3

∈（0，

π

2

）時，sin（2x-

π

6

）取最大值1．
∴f（x）的最大值為

3

2

．

點評：本題主要考查空間向量的坐標公式的應用，以及三角函數的圖象和性質，利用數量積的坐標公式求出函數f（x）是解決本題關鍵．