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設f(x)=x3,等差數列{an}中a3=7,a1+a2+a3=12,記Sn=,令bn=anSn,數列的前n項和為Tn
(Ⅰ)求{an}的通項公式和Sn
(Ⅱ)求證:
(Ⅲ)是否存在正整數m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比數列?若存在,求出m,n的值,若不存在,說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)設出等差數列的公差為d,代入到a3=7和a1+a2+a3=12求出a1和d即可求出數列的通項公式,把通項公式代入到Sn=中并根據f(x)=x3得到sn的通項公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=anSn=(3n-2)(3n+1),所以==-),得到bn的前n項和Tn=(1-)<得證;
(Ⅲ)由(Ⅱ)分別求出T1,Tm和Tn,因為T1,Tm,Tn成等比數列,所以,分別討論m和n都為正整數且1<m<n即可得到存在并求出此時的m和n的值即可.
解答:解:(Ⅰ)設數列{an}的公差為d,由a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12.
解得a1=1,d=3∴an=3n-2
∵f(x)=x3∴Sn==an+1=3n+1.
(Ⅱ)bn=anSn=(3n-2)(3n+1)

(Ⅲ)由(2)知,∵T1,Tm,Tn成等比數列.

當m=1時,7=,n=1,不合題意;當m=2時,=,n=16,符合題意;
當m=3時,=,n無正整數解;當m=4時,=,n無正整數解;
當m=5時,=,n無正整數解;當m=6時,=,n無正整數解;
當m≥7時,m2-6m-1=(m-3)2-10>0,則,而
所以,此時不存在正整數m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比數列.
綜上,存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比數列.
點評:考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式解決數學問題,利用數列的遞推式得到數列的通項公式,以及掌握等比數列性質的能力.
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