Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B﹣ACD，點M是棱BC的中點，且DM=2 ．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求點B到平面DOM的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC中，O為AC的中點，M為BC的中點，

∴OM∥AB．

∵OM平面ABD，AB平面ABD，

∴OM∥平面ABD

（2）解：∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，

∴在三棱錐B﹣ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．

∵O為BD的中點，∴OD= BD=2．

∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴OM= AB=2

又∵OD2+OM2=8=DM2，∴∠DOM=90°，即OD⊥OM．

∵AC平面ABC，OM平面ABC，AC∩OM=O，

∴OD⊥平面ABC．

∵OD平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC

（3）解：由（2）得OD⊥平面BOM，可得OD是三棱錐D﹣BOM的高．

設點B到面DOM距離為h，由OD=2，

∴ ，

∵因為VB﹣DOM=VD﹣BOM，

∴ S△DOMh= S△ABCOD，即 ，解得 ，

即點B到平面DOM的距離等于

【解析】（1）根據三角形的中位線定理，可得OM∥AB．再由線面平行判定定理，得到OM∥平面ABD；（2）在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4，OD= BD=2，從而算出∠DOM=90°，即OD⊥OM．根據OD⊥AC，利用線面垂直判定定理得到OD⊥平面ABC，進而得出平面DOM⊥平面ABC．（3）分別算出△DOM的△ABC面積，利用三棱錐B﹣DOM與三棱錐D﹣BOM體積相等加以計算，可得點B到平面DOM的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．