Question

已知函數f（x）=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

（x∈（0.

π

2

）∪（

π

2

，π））
（1）化簡函數f（x）并求f（

π

4

）的值；
（2）求函數f（x）在（

π

2

，π）上的單調區間和值域．

Answer 1

分析：（1）根據同角平方關系，分別在被開方數上乘以1-sinx，1-cosx，根據已知的x的范圍進行化簡可得．
（2）結合（1）可得，f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，結合正弦函數的圖象及性質進行求解．

解答：解：（1）f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx) 2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

（3分）
=

2-sinx-cosx  ，x∈(0 π 2 ) sinx-cosx      ，x∈( π 2 ，π)

（6分）
∴f(

π

4

) =2-

2

（7分）
（2）當x∈(

π

2

，π)時，f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)（8分）
當x∈(

π

2

，π)時，x-

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)故當x∈(

π

2

，

3π

4

)時，函數f（x）單調遞增，
當x∈(

3π

4

，π)時，函數f（x）單調遞減；（11分）函數的值域是（1，

2

）．（12分）

點評：本題主要考查了三角函數的平方關系的運用，考查了三角函數的值域及單調區間的求解，屬于基礎知識的簡單綜合．