Question

曲線y=-x²+4x上有兩點A（4，0）、B（2，4）．
求：（1）割線AB的斜率k_AB及AB所在直線的方程；
（2）在曲線AB上是否存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用兩點的斜率公式即可求得割線AB的斜率，再利用直線方程的點斜式求得AB所在直線的方程即得；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行，再利用由導函數的幾何意義可知函數圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數值，求得切點的坐標，結合直線的方程求出斜率等于-2的直線，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵點A（4，0）、B（2，4）．
∴k_AB=

4-0

2-4

=-2，
∴y=-2（x-4）．
∴所求割線AB所在直線方程為2x+y-8=0．
（2）y′=-2x+4，-2x+4=-2，得x=3，y=-3²+3×4=3．
∴C點坐標為（3，3），所求切線方程為2x+y-9=0．
故在曲線AB上存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行．

點評：本題考查了導數的幾何意義，以及直線的方程、斜率公式等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．本題還考查了存在性問題，所謂存在性問題，一般是要求確定滿足某些特定要求的元素有或沒有的問題．解題思路是：先假定所需探索的對象存在或結論成立，以此為依據進行計算或推理．