Question

圓C經過點A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=2x上．
（1）求圓C的方程；
（2）圓內有一點B（2，-

5

2

），求以該點為中點的弦所在的直線的方程．

Answer 1

分析：（1）依據圓心所在的直線方程設出圓心坐標，利用圓心到切線的距離等于半徑求出參數，得到圓心坐標和半徑，從而寫出圓的方程．
（2）利用以該點為中點的弦所在的直線與CB垂直，求出直線的斜率，點斜式寫出直線方程，并化為一般式．

解答：解：（1）∵圓心在直線y=2x上，可設圓心C（a，2a），∵圓C經過點A（2，-1），
∴圓的半徑為  r=

(a-2)2+(2a+1)2

，又圓和直線x+y=1相切，
∴

(a-2)2+(2a+1)2

=

|a+2a-1|

2

，解得 a=3，
∴a=3，r=4

2

∴圓C的方程 （x-3）²+（y-6）²=32．
（2）由上知，C（3，6），圓內有一點B（2，-

5

2

），以該點為中點的弦所在的直線與CB垂直，
故直線的斜率為

-1

KCB

=

-1

6+ 5 2 3-2

=-

2

17

，
所求直線的方程 y+

5

2

=-

2

17

（x-2），即：4x+34y+77=0．

點評：本題考查圓的標準方程的求法（待定系數法求出圓心坐標是關鍵），以及用點斜式求直線的方程．