Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，則角B=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到cosB=$\frac{1}{2}$，結合B的范圍即可得解B的值．

解答 證明：在△ABC中，∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，
∴利用正弦定理化簡得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，
即sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，特殊角的三角函數值，兩角和與差的正弦函數公式在解三角形中的應用，正弦定理是解決本題的關鍵．綜合性較強，屬于基礎題．