Question

（2013•海淀區(qū)一模）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又∠CAD=30°，PA=AB=4，點(diǎn)N在線(xiàn)段PB上，且

PN

NB

=

1

3

．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求證：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）設(shè)平面PAB∩平面PCD=l，試問(wèn)直線(xiàn)l是否與直線(xiàn)CD平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)證明BD⊥平面PAC，然后證明BD⊥PC；
（Ⅱ）通過(guò)證明線(xiàn)段成比例證明MN∥PD，利用直線(xiàn) 平面平行的判定定理證明MN∥平面PDC；
（Ⅲ）利用反證法證明直線(xiàn)l∥CD，推出CD∥AB與CD與AB不平行矛盾從而說(shuō)明直線(xiàn)l與直線(xiàn)CD不平行．

解答：解：（I）證明：（I） 因?yàn)椤鰽BC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分）
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，PA⊥BD…（2分）
又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分）
又PC?平面PAC，所以BD⊥PC…（5分）
（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=2

3

…（6分）
在△ACD，因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，所以AD=CD
∠CAD=30°，所以，DM=

2 3

3

，所以BM：MD=3：1…（8分）
所以BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD…（9分）
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所 以MN∥平面PDC…（11分）
（Ⅲ）假設(shè)直線(xiàn)l∥CD，因?yàn)閘?平面PAB，CD?平面PAB，
所以CD∥平面PAB…（12分）
又CD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…（13分）
這與CD與AB不平行，矛盾
所以直線(xiàn)l與直線(xiàn)CD不平行…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查在與平面垂直與平行的判定定理的應(yīng)用，反證法的應(yīng)用，考查空間想象能力與邏輯推理能力．