Question

觀察數列：

①1，－1，1，－1…；

②正整數依次被4除所得余數構成的數列1，2，3，0，1，2，3，0，…；

③

(1)對以上這些數列所共有的周期特征，請你類比周期函數的定義，為這類數列下一個周期數列的定義：對于數列{a_n}，如果________，對于一切正整數n都滿足________成立，則稱數列{a_n}是以T為周期的周期數列；

(2)若數列{a_n}滿足a_n+2＝a_n+1－a_n，n∈N⁺，S_n為{a_n}的前n項和，且S₂＝2008，S₃＝2010，證明{a_n}為周期數列，并求S₂₀₀₈；

(3)若數列{a_n}的首項，且a_n+1＝2a_n(1－a_n)，n∈N^*，判斷數列{a_n}是否為周期數列，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)存在正整數； 　　(2)證明：由 　　 　　所以數列{an}是以T＝6為周期的周期數列 　　由 　　于是 　　又， 　　所以， 　　(3)當p＝0時，{an}是周期數列，因為此時an＝0(n∈N*)為常數列，所以對任意給定的正整數T及任意正整數n，都有an+T＝an，符合周期數列的定義． 　　當是遞增數列，不是周期數列． 　　下面用數學歸納法進行證明： 　　①當 　　所以， 　　且 　　所以 　　②假設當n＝k時，結論成立，即 　　則 　　所以當n＝k＋1時，結論也成立． 　　根據①、②可知，{an}是遞增數列，不是周期數列．