Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n-a_n+1=a_na_n+1，數列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求證：數列{

1

an

}為等差數列；
（2）設T_n=S_2n-S_n，求證：T_n+1＞T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n-a_n+1=a_na_n+1，從而得

1

an+1

-

1

an

=1，根據等差數列的定義，可以證明數列{

1

an

}為等差數列；
（2）由（1）可求出a_n的通項公式，求出數列{a_n}的前n項和為S_n，利用作差法進行證明．

解答：證明：（1）由a_n-a_n+1=a_na_n+1，
從而得

1

an+1

-

1

an

=1（3分）
∵a₁=1
∴數列{

1

an

}是首項為1，公差為1的等差數列．（5分）
（2）∵

1

an

=n則an=

1

n

，∴sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（7分）
∴T_n=S_2n-S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

（9分）
∵Tn+1-Tn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)，
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴T_n+1＞T_n．（12分）

點評：此題主要考查了等差數列的性質及其應用，第二問利用作差法進行證明，這也是最基本的證明方法，我們要熟練掌握，此題是一道中檔題．