Question

【題目】正整數數列滿足：，

（1）寫出數列的前5項；

（2）將數列中所有值為1的項的項數按從小到大的順序依次排列，得到數列，試用表示（不必證明）；

（3）求最小的正整數，使．

Answer 1

【答案】（1）前五項為，，，，；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據遞推關系令依次求出前五項；

（2）依次寫出部分項，觀察規律歸納結果，加以分析其正確性；

（3）根據（2）的結論求出，再把轉化為進行分類討論，驗證其與2013的大小關系，直到求解得出出具體值.

（1）由題：，，

，，

，，

，，

，

所以前五項為，，，，；

（2）由題

，

歸納，

顯然當時，結論成立，

假設已有，顯然，

則，

，

，

，

…

可以歸納：，

故當時，

因此成立；

（3）由（2）

所以，

即是以3為首項，3為公比的等比數列，

，，

由可知：

當時，，

因此當時，；

當時，或，即不能使成立，

考慮時：

由（2）

則解得，則，

所以，

所以使的最小的正整數，