Question

（2012•煙臺二模）設橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上焦點是F₁，過點P（3，4）和F₁作直線PF₁交橢圓于A、B兩點，已知A（

1

3

，

4

3

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設點C是橢圓E上到直線PF₁距離最遠的點，求C點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由A（

1

3

，

4

3

）和P（3，4）能求出直線PF₁的方程為：y=x+1，令x=0，得橢圓E的焦點為F₁（0，1）、F₂（0，-1），由橢圓的定義能求出橢圓E的方程．
（2）設與直線PF₁平行的直線l：y=x+m，由

y2 2 +x2=1 y=x+m

，得3x²+2mx+m²-2=0，再由根的判別式結合題設條件，能求出C點的坐標．．

解答：解：（1）由A（

1

3

，

4

3

）和P（3，4）得直線PF₁的方程為：y=x+1…（1分）
令x=0，得y=1，即c=1                                          …（2分）
橢圓E的焦點為F₁（0，1）、F₂（0，-1），
由橢圓的定義可知2a=|AF1|+|AF2|=

( 1 3 )2+( 4 3 -1)2

+

( 1 3 )2+( 4 3 +1)2

=2

2

…（4分）
∴a=

2

，b=1…（5分）
橢圓E的方程為

y2

2

+x2=1…（6分）
（2）設與直線PF₁平行的直線l：y=x+m…（7分），
由

y2 2 +x2=1 y=x+m

，消去y得3x²+2mx+m²-2=0…（8分）
△=（2m）²-4×3×（m²-2）=0，
即m2=3，m=±

3

…（9分）
要使點C到直線PF₁的距離最遠，
則直線L要在直線PF₁的下方，所以m=-

3

…（10分）
此時直線l與橢圓E的切點坐標為(

3

3

，-

2 3

3

)，
故C(

3

3

，-

2 3

3

)為所求．   …（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和求點的坐標，具體涉及到橢圓的定義、直線方程的求法、橢圓的簡單性質、根的判別式、直線與橢圓的位置關系等基本知識，解題時要認真審題，仔細解答．