Question

設b0，橢圓方程為=1，拋物線方程為x­²=8（y-b）．如圖所示，過點F（0,b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G．已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F_1．                                                                                     

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設A₁B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

解：（1）由得 

       當時，，G點的坐標為（4，b＋2）

        ， 

       過點G的切線方程為，即，

       令y＝0得  ，點的坐標為 （2-b，0）；

       由橢圓方程得點的坐標為（b，0），

         即 b＝1，

     因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和。

 （2）過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P,

      以為直角的只有一個;

      同理以為直角的只有一個;

     若以為直角, 設P點的坐標為，則A、B坐標分別

為、

      由得，

     關于的一元二次方程有一解，x有二解，即以為直角的有二個;

     因此拋物線上共存在4個點使為直角三角形。