Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

3

，橢圓上的點到右焦點F的最大距離為5；
（1）求橢圓的方程；
（2）設過右焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點，且線段AB的中點M在直線l：x=t（t＞2）上的射影為N，若

AN

•

BN

=0，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的離心率為

2

3

，得

c

a

=

2

3

，由橢圓上的點到右焦點F的最大距離為5，得a+c=5，再由a，b，c的關系式，就可解出a，b的值，得到橢圓方程．
（2）設出直線l的點斜式方程，與橢圓方程聯立，解得x₁+x₂，x₁x₂，利用弦長公式求出|AB|長．因為M在直線l：x=t（t＞2）上的射影為N，可求出|MN|的長，由M為線段AB的中點，

AN

•

BN

=0可得|AB|=2|MN|，把前面求出的|AB|長與|MN|的長代入，就可得到關于k，t的等式，用k表示t，再根據k的范圍求出t的范圍即可．

解答：解：（1）依題意，得

a+c=5 c a = 2 3

，解得，a=3，c=2，由b2=a2-c2，得b=

5

，
∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

5

=1
（2）設直線AB方程為y=k（x-2），代入橢圓

x2

9

+

y2

5

=1中，得
（9k²+5）x²-36k²x+36k²-45=0
∵直線與橢圓交于A、B兩點，
有△（36k²）²-4（9k²+5）（36k²-45）=25×36（k²+1）＞0
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

30(k2+1)

9k2+5

又由|MN|=t-

x1+x2

2

=t-

18k2

9k2+5

，又∵Rt△ABN中，M為斜邊AB的中點，
∴|AB|=2|MN|，即

30(k2+1)

9k2+5

=2t-

36k2

9k2+5

解得，t=

33k2+15

9k2+5

=

11

3

-

10 3

9(k2+ 5 9 )

∵k²≥0，∴k2+

5

9

≥

5

9

，9(k2+

5

9

)≥5
0＜

10 3

9(k2+ 5 9 )

≤ 

2

3

，-

2

3

≤-

10 3

9(k2+ 5 9 )

＜0
3≤

11

3

-

10 3

9(k2+ 5 9 )

＜

11

3

∴t的取值范圍為[3，

11

3

）

點評：本題主要考察了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓相交時弦長公式的應用，分離變量求參數的取值范圍，屬于圓錐曲線的綜合題．