Question

已知不等式ax²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a，b；
（2）解不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）一元二次不等式解集的端點(diǎn)就是對應(yīng)一元二次方程的根，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解出a，b．
（2）先把一元二次不等式變形到（x-2）（x-c）＜0，分當(dāng)c＞2時、當(dāng)c＜2時、當(dāng)c=2時，三種情況求出此不等式的解集．
解答：解：（1）因?yàn)椴坏仁絘x²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，所以x₁=1與x₂=b是方程ax²-3x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，
且b＞1．由根與系的關(guān)系得，解得，所以得．
（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0，
即x²-（2+c）x+2c＜0，即（x-2）（x-c）＜0．
①當(dāng)c＞2時，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集為{x|2＜x＜c}；
②當(dāng)c＜2時，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集為{x|c＜x＜2}；
③當(dāng)c=2時，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集為∅．
綜上所述：當(dāng)c＞2時，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集為{x|2＜x＜c}；
當(dāng)c＜2時，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集為{x|c＜x＜2}；
當(dāng)c=2時，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集為∅．
點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．