Question

已知函數(shù)

（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意，，設(shè)，則

                        

                                  

因?yàn)?sub>是R上的增函數(shù)，且，所以＜０，          

所以＜０，即，故函數(shù)為R上的增函數(shù). 

（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，所以.         

即，解得a=1.                                

（3）解：因?yàn)?sub>是奇函數(shù)，從而不等式對(duì)任意的恒成立等價(jià)于不等式對(duì)任意的恒成立．           

又因?yàn)?sub>在R上為增函數(shù)，所以等價(jià)于不等式對(duì)任意的恒成立，即不等式對(duì)任意的恒成立．                          

所以必須有，即，     　                 

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是（-4，4）．