Question

已知函數，（）

（Ⅰ）若函數存在極值點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）當且時，令，()，()為曲線上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）實數的取值范圍為；(Ⅱ)當時，，函數的單調遞增區間為；當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求函數的導數，有兩個不相等實數根，利用求實數的取值范圍；(Ⅱ)分，，討論求函數的單調區間．當時，，函數的單調遞增區間為；當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅲ）當且時，假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．則且．不妨設．故，則．，該方程有解．下面分，，討論，得方程總有解．最后下結論，對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．

試題解析：（Ⅰ），若存在極值點，則有兩個不相等實數根．所以，                                   2分

解得                                                    3分

(Ⅱ)                                          4分

當時，，函數的單調遞增區間為；           5分

當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．7分．

（Ⅲ） 當且時，假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．則且．      8分

不妨設．故，則．

，該方程有解          9分

當時，，代入方程得

即，而此方程無實數解；              10分

當時，則；                    11分

當時，，代入方程得

即，                          12分

設，則在上恒成立．

∴在上單調遞增，從而，則值域為．

∴當時，方程有解，即方程有解．               13分

綜上所述，對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上．         14分．

考點：1．導數與函數的極值；2．利用導數求函數的單調區間；3．利用導數解決存在性問題．