Question

已知函數f（x）滿足f(x)=x3+f′(

2

3

)x2-x+c（其中f′(

2

3

)為f（x）在點x=

2

3

的導數，C為常數）
（I）若方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根，求常數C；
（II）在（I）的條件下，若f(-

1

3

)＞0，求函數f（x）的圖象與X軸圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（I）由已知可解得c的值，然后把三次方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根轉化為函數的極大值或極小值為0來求解；
（II）結合題意和（I）可的c=1，可解出三次方程x³-x²-x+1=0的兩個根為±1，然后由定積分可知圖象的面積為

∫ 1 -1 (x3-x2-x+1)dx

，解出即可．

解答：解：（I）∵函數f（x）滿足f(x)=x3+f′(

2

3

)x2-x+c
求其導數可得：f′(x)=3x2+2f′(

2

3

)x-1
把x=

2

3

代入可得

f′( 2 3 )=3( 2 3 )2+2f′( 2 3 ) 2 3 -1

，解得f′（

2

3

）=-1
∴

f(x)=x3-x2-x+c

，
∴f′（x）=3x²-2x-1
由f′（x）=0，可解得x1=-

1

3

，x₂=1，
并且當x∈（-∞，-

1

3

）時f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（-

1

3

，1）時
f′（x）＜0，f（x）單調遞減；x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
故函數f（x）在x=-

1

3

處取到極大值

f(- 1 3 )=c+ 7 27

，在x=1處取到極小值f（1）=c-1，
所以當方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根，則只需f(-

1

3

)=0或f（1）=0，
解得c=-

1

27

或c=1．
（II）在（I）的條件下，若f(-

1

3

)＞0，則c＞-

1

27

，
∴c=1，故f（x）=x³-x²-x+1
可解得方程f（x）=x³-x²-x+1=0的兩個根為±1，
∴函數f（x）的圖象與對軸圍成的封閉圖形的面積為

∫ 1 -1 (x3-x2-x+1)dx

=( 1 4 x4- 1 3 x3- 1 2 x2+x) | 1 -1 = 4 3

點評：本題為導數與定積分的綜合應用，正確求解c的值是解決問題的關鍵，屬中檔題．