Question

已知函數f（x）=lnx+ax²在點（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行．
求：（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）≤x²+b恒成立．求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=lnx+ax²在點（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行，解得a=-1．故f′(x)=

1

x

-2x，由此能求出函數f（x）的單調區間．
（2）由函數f（x）≤x²+b恒成立，知b≥lnx-2x²恒成立，故b≥（lnx-2x²）_max．由此能求出實數b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx+ax²，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

+2ax，
∵函數f（x）=lnx+ax²在點（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴f′(x)=

1

x

-2x，
∵x＞0，∴由f′(x)=

1

x

-2x＞0，得0＜x＜

2

2

；由f′(x)=

1

x

-2x＜0，得x＞

2

2

．
∴函數f（x）的單調減區間為（

2

2

，+∞），單調增區間為（0，

2

2

）．
（2）∵函數f（x）≤x²+b恒成立，
∴b≥lnx-2x²恒成立，
∴b≥（lnx-2x²）_max．
設g（x）=lnx-2x²，x＞0．
則g′(x)=

1

x

-4x，
令g′(x)=

1

x

-4x=0，得x=

1

2

．
當0＜x＜

1

2

時，g′（x）＞0；當x＞

1

2

時，g′（x）＜0．
∴當x=

1

2

時，g(x)max=g(

1

2

)=ln

1

2

-2×（

1

2

）²=1n

1

2

-

1

2

．
∴b≥ln

1

2

-

1

2

．
故b的取值范圍是（ln

1

2

-

1

2

，+∞）．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查導數的幾何意義的應用．解題時要認真審題，注意直線平行的條件和等價轉化思想的合理運用．