Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合．已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x²-14x+mn=0的兩個根．
（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點共圓；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（I）做出輔助線，根據所給的AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x²-14x+mn=0的兩個根，得到比例式，根據比例式得到三角形相似，根據相似三角形的對應角相等，得到結論．
（II）根據所給的條件做出方程的兩個根，即得到兩條線段的長度，取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH，根據四點共圓得到半徑的大小．
解答：解：（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四點共圓．
（Ⅱ）m=4，n=6時，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2，x₂=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH．
∵C，B，D，E四點共圓，
∴C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12-2）=5．
故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5
點評：本題考查圓周角定理，考查與圓有關的比例線段，考查一元二次方程的解，考查四點共圓的判斷和性質，本題是一個幾何證明的綜合題．