Question

已知在公差d小于0的等差數列{a_n}中,S₉=S₁₇,問數列前多少項和最大?

Answer 1

解法一:記f(n)=S_n=a₁n+d,并設S₉=S₁₇=m.

因為二次方程f(n)－m=0有兩個實根9和17,

所以f(n)－m=(n－9)(n－17),即f(n)=［(n－13)²－16］+m.

因為d<0,

所以當n=13時,f(n)有最大值,即S₁₃最大.

解法二:設f(n)=S_n=a₁n+d=dn²+(a₁－)n.

因為S₉=S₁₇,d<0,所以f(9)=f(17).所以拋物線y=f(x)的對稱軸是x=13.

又因為其開口向下,所以當n=13時,f(n)有最大值,即數列{a_n}的前13項和最大.

解法三:因為S₉=S₁₇,

所以a₁₀+a₁₁+…+a₁₇=0.

又因為a₁₀+a₁₇=a₁₁+a₁₆=…=a₁₃+a₁₄,

所以a₁₃+a₁₄=0.

因為d<0,所以數列{a_n}單調遞減,

于是a₁₃>0,a₁₄<0,從而S₁₃最大.

點評:解這類問題一般有兩種思路:

(1)當公差d≠0時,等差數列的前n項和S_n是關于n的二次函數.一般地,當n取距離對稱軸最近的正整數時,S_n最大(小).

(2)當公差d<0時,此數列是遞減數列,如果數列中存在一項a_k,使得a₁,a₂,…,a_k都大于0,而a_k+1,a_k+2,…都小于0,那么S_k=a₁+a₂+…+a_k最大;若數列中存在一項a_k=0,而a₁,a₂,…,a_k－1都大于0,a_k+1,a_k+2,…都小于0,那么S_k－1與S_k相等,它們同時達到最大.

也就是說,當時,S_k最大.

當公差d>0時,可作類似的分析得到當時,S_k最小.