Question

如圖，D、E分別是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中點，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求證：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一點M，使二面角M-BC₁-B₁的大小為60°，若存在，求AM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在線段BC₁上取中點F，連接EF、DF，可得EF∥DA₁，且EF=DA₁，所以四邊形EFDA₁是平行四邊形，所以A₁E∥FD，再結合線面平行的判定定理可得線面平行．
（II）由題意可得：A₁E⊥平面CBB₁C₁．過點E作EH⊥BC₁與H，連接A₁H，則∠A₁HE為二面角A1-BC₁-B₁的平面角，再利用解三角形的有關知識得到此角大于60°，進而得到結論．

解答：解：（Ⅰ）在線段BC₁上取中點F，連接EF、DF，
所以EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四邊形EFDA₁是平行四邊形…2′
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，FD?平面BDC₁，
∴A₁E∥平面BDC₁．…4′
（II）由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥C₁C，可得A₁E⊥平面CBB₁C₁．
過點E作EH⊥BC₁與H，連接A₁H，
則∠A₁HE為二面角A1-BC₁-B₁的平面角，
在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4可得BC₁邊上的高為

8 5

5

，
所以EH=

4 5

5

，
又A₁E=2

3

，
所以tan∠A₁HE=

A1E

EH

=

15

2

＞

3

，
所以∠A₁HE＞60°．
所以M在棱AA₁上時，二面角M-BC₁-B₁總大于60°．
故棱AA₁上不存在使二面角M-BC₁-B₁的大小為60°的點M．…12′

點評：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵．