Question

（2013•浙江模擬）設0＜m＜

1

3

，若

1

m

+

3

1-3m

≥k恒成立，則k的最大值為

12

．

Answer 1

分析：根據題意，原不等式恒成立即（

1

m

+

3

1-3m

）_min≥k恒成立．設

1

3

-m=n，不等式的左邊化為

1

m

+

1

n

，利用“1的代換”和基本不等式，求出當且僅當m=n=

1

6

時

1

m

+

1

n

的最小值為12，由此即可得到實數k的最大值．

解答：解：∵

3

1-3m

=

1

1 3 -m

，∴設

1

3

-m=n，得

1

m

+

3

1-3m

=

1

m

+

1

n

∵m+n=

1

3

，可得3（m+n）=1，∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）•3（m+n）=3（2+

n

m

+

m

n

）
又∵0＜m＜

1

3

，得m、n都是正數，∴

n

m

+

m

n

≥2

n m • m n

=2
因此，

1

m

+

1

n

=3（2+

n

m

+

m

n

）≥3（2+2）=12
當且僅當m=n=

1

6

時，

1

m

+

3

1-3m

=

1

m

+

1

n

的最小值為12
又∵不等式

1

m

+

3

1-3m

≥k恒成立，∴12≥k恒成立，可得k的最大值為12
故答案為：12

點評：本題給出含有字母參數的不等式，在不等式恒成立的情況下求參數k的取值范圍，著重考查了利用基本不等式求最值、和函數最值的應用等知識點，屬于中檔題．