Question

如果有窮數(shù)列滿足條件:
即,我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,3,3,2,1 和數(shù)列1,2,3,4,3,2,1都為 “對(duì)稱數(shù)列”。已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)不超過的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得依次為該數(shù)列中連續(xù)的前項(xiàng)，則數(shù)列的前2009項(xiàng)和所有可能的取值的序號(hào)為  (     )
①②③④

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

D

由于新定義了對(duì)稱數(shù)列，且已知數(shù)列b_n是項(xiàng)數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項(xiàng)，故數(shù)列{b_n}的前2009項(xiàng)和需分情況討論，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和定義直接可求得，從而判斷①②的正確與否；對(duì)于③④，先從等比數(shù)列的求和公式求出任意2m項(xiàng)的和，在利用減法得到需要的前2009項(xiàng)的和，即可判斷．
解：因?yàn)閿?shù)列b_n是項(xiàng)數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項(xiàng)，
所以分?jǐn)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)和奇數(shù)討論．
若數(shù)列含偶數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列可設(shè)為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當(dāng)m-1≥2008時(shí)，S₂₀₀₉==2²⁰⁰⁹-1，所以①正確；
當(dāng)1004≤m-1＜2008時(shí)，S₂₀₀₉=2=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正確；
若數(shù)列含奇數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列可設(shè)為可設(shè)為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當(dāng)m-1≥2008時(shí)，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
當(dāng)1004≤m-1＜2008時(shí)，所以S₂₀₀₉=2=3?2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正確．
故選D．