Question

如圖，在△ABC中，已知A（，0），B（，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心為H，且，
（Ⅰ）求點H的軌跡方程；
（Ⅱ）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G，H（點G在F，H之間），且滿足，求λ的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）設點H的坐標為（x，y），C點坐標為（x，m），則D（x，0），
∴，
∴m=2y，
故C點為（x，2y），
∵，
∴，x²+2y²=2，
故點H的軌跡方程為（y≠0）；
（Ⅱ）當直線GH斜率存在時，設直線GH方程為y=kx+2，
代入橢圓方程，得，
由Δ＞0得，
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則，
又∵，
∴（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2），
∴x₁=λx₂，
∴x₁+x₂=（1+λ）x₂，，
∴，
∴，
整理得，
，
∴，
∴，解得，
時，，
∴，
又∵0＜λ＜1，
∴；
又當直線GH斜率不存在，方程為x=0，，
∴。