Question

設函數(shù)f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經(jīng)過點(

π

2

，1)．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和最值．
（Ⅱ）若f(

π

12

)=

2

sinA，其中A是面積為

3 3

2

的銳角△ABC的內角，且AB=2，求AC和BC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)圖象過一點，把此點的坐標代入，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出m的值，進而確定出f（x）的解析式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式求出f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）根據(jù)已知的等式，代入確定出的f（x）的解析式，化簡后得到sinA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的面積公式，由AB和sinA的值求出AC的長，最后由AC，AB及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的長．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經(jīng)過點(

π

2

，1)，
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴m=1，（2分）
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)．（4分）
∴函數(shù)的最小正周期T=2π．（5分）
當x=

π

4

+2kπ(k∈Z)時，f（x）的最大值為

2

，當x=

5π

4

+2kπ(k∈Z)時，f（x）最小值為-

2

．（7分）
（Ⅱ）因為f(

π

12

)=

2

sinA，即f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

，
∵A是面積為

3 3

2

的銳角△ABC的內角，
∴A=

π

3

．（10分）
∵S△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

3

2

3

，
∴AC=3．（12分）
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7，
∴BC=

7

．（14分）

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變形，余弦定理，三角形的面積公式，以及正弦函數(shù)的周期及值域．熟練掌握三角函數(shù)的恒等變形是解本題的關鍵．