Question

(理)已知函數f(x)=x²+lnx+(a-4)x在(1,+∞)上是增函數.

(1)求實數a的取值范圍;

(2)在(1)的結論下,設g(x)=|e^x-a|+,x∈［0,ln3］,求函數g(x)的最小值.

(文)已知函數f(x)=x³+ax²+bx+c,g(x)=12x-4,若f(-1)=0,且f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=g(x).

(1)求實數a、b、c的值;

(2)求函數h(x)=f(x)-g(x)的單調區間.

Answer 1

答案：(理)解:(1)f′(x)=x++a-4.

∵f(x)在(1,+∞)上是增函數,∴x++a-4≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≥4-(x+)恒成立.∵x+≥2(當且僅當x=1時,等號成立),∴4-(x+)＜2.∴a≥2.

(2)設t=e^x,則h(t)=|t-a|+.∵0≤x≤ln3,∴1≤t≤3.當2≤a≤3時,h(t)=

∴h(t)的最小值為h(a)=.

當a＞3時,h(t)=-t+a+.∴h(t)的最小值為h(3)=a-3+.

∴當2≤a≤3時,g(x)的最小值為;當a＞3時,g(x)的最小值為a-3+.

(文)解:(1)∵f(-1)=0,∴-1+a-b+c=0.①

∵f′(x)=3x²+2ax+b,又f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=g(x),∴f(1)=g(1)=8,且f′(1)=12.

即a+b+c=7,②

2a+b=9.③

聯立方程①②③,解得a=3,b=3,c=1.

(2)h(x)=f(x)-g(x)=x³+3x²-9x+5.h′(x)=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1).

令h′(x)=0,得x=-3或x=1.

X	(-∞,-3)	-3	(-3,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?	極大		極小

 

故h(x)的單調增區間為(-∞,-3),(1,+∞),單調減區間為(-3,1).